Study of groups and fields in some tame theories

Cette thèse est dédiée à l’étude des structures algébriques dans une certaine classe de la classification modèle-théorique des structures, celle des théories NSOP1. On commence par présenter comment s’est développée la classification en général et l’étude de NSOP1 en particulier, ainsi que les différents outils modèle-théoriques que l’on utilise dans ce contexte, c’est-à-dire les relations d’indépendance, la Shelah-indépendance et surtout la Kim-indépendance. On aborde ensuite la construction d’exemples de théories NSOP1. Dans le Chapitre 2 on considère des extensions génériques de certaines théories. On démontre que sous certaines hypothèses ces extensions génériques sont NSOP1 et on caractérise la Kim-indépendance et la Shelah-indépendance dans celles-ci. Ceci nous fournit entre autres un exemple de groupe définissable dans une théorie NSOP1. Un autre exemple de théorie NSOP1 est étudié dans le Chapitre 3. Il s’agit de la théorie d’une forme bilinéaire symétrique générique sur un corps K. On démontre que si le corps K est NSOP1 alors cette théorie l’est aussi et on caractérise la Kim-indépendance sur des modèles dans celle-ci. On démontre aussi des résultats plus précis sur cette théorie en ajoutant des conditions sur la théorie du corps K. On fournit un contre-exemple à une conjecture portant sur un lien entre Kim-indépendance et Shelah-indépendance dans le cas où K est un corps algébriquement clos. Dans le Chapitre 4 on s’intéresse aux outils modèle-théoriques pour étudier les groupes définissables, et on cherche à les généraliser au contexte de NSOP1. On définit le Kim-stabilisateur et on démontre que dans plusieurs exemples de théories NSOP1 on obtient un sous-groupe type- définissable. On définit aussi certaines hypothèses sur un corps K sous lesquelles en utilisant le Kim-stabilisateur on peut établir un lien entre un groupe définissable dans K et les points K-rationnels d’un groupe algébrique définissable sur K. Dans l’appendice on s’intéresse à une généralisation de la conjecture de la déviation stable au cadre des théories NSOP1 et de la Kim-déviation.