The binary actions of alternating groups

Given a conjugacy class <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>𝒞</mml:mi> </mml:math> in a group <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> we define a new graph, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>𝒞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , whose vertices are elements of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>𝒞</mml:mi> </mml:math> ; two vertices <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>𝒞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> are connected in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>𝒞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and either <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> or <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> is in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>𝒞</mml:mi> </mml:math> . We prove a lemma that relates the binary actions of the group <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> to connectivity properties of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>𝒞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . This lemma allows us to give a complete classification of all binary actions when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , an alternating group on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> letters with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> .