Subgraphs with a positive minimum semidegree in digraphs with large outdegree

We prove that every <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> -vertex directed graph <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> with the minimum outdegree <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> contains a subgraph <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:math> satisfying <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix" movablelimits="true">min</mml:mo> <mml:mfenced close="}" open="{" separators=""> <mml:msup> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> We also show that if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> then this bound is asymptotically best possible.