The maximal function on spaces of homogeneous type, or adjacent dyadic cubes do good

Abstract We prove that the Hardy–Littlewood maximal operator M is bounded on the variable Lebesgue space $$L^{p(\cdot )}(X,d,\mu )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , with $$1&lt;p_-\le p_+&lt;\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , over an unbounded space of homogeneous type $$(X,d,\mu )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with a Borel-semiregular measure $$\mu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:math> , if and only if the averaging operators $$T_\mathcal {Q}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> are bounded on $$L^{p(\cdot )}(X,d,\mu )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> uniformly over all families $$\mathcal {Q}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:math> of pairwise disjoint “cubes” from a Hytönen–Kairema dyadic system on X . This extends Diening’s well-known characterization of the boundedness of M on $$L^{p(\cdot )}(\mathbb {R}^n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> to the setting of spaces of homogeneous type, while also providing a slight refinement of the original result.