Planar radial mean bodies are convex

The radial mean bodies of parameter <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than negative 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p&gt;-1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of a convex body <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K subset-of-or-equal-to double-struck upper R Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo> ⊆ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K \subseteq \mathbb {R}^n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are radial sets introduced by Gardner and Zhang [Amer. J. Math. 120 (1998), no. 3, 505–528]. They are known to be convex for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than-or-equal-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p\geq 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We prove that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K subset-of-or-equal-to double-struck upper R squared"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo> ⊆ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K \subseteq \mathbb {R}^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a convex body, then its radial mean body of parameter <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is convex for every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p element-of left-parenthesis negative 1 comma 0 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p \in (-1,0)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .