Growth of Fourier–Lebesgue norms for mKdV

Abstract We demonstrate inflation of Fourier–Lebesgue norms for solutions to the focusing modified Korteweg–de Vries equation posed on the real line. For $$p\ne 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and all $$s\in \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , we construct a sequence of solutions $$u_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> whose initial data $$u_n(0)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> converges to zero in the Fourier–Lebesgue spaces $$\mathcal {F}L^p_s(\mathbb {R})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , but whose evolutions at later times $$t_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> diverge to infinity.