Gain and loss on critical logarithmic double phase equations

Abstract This paper is concerned with the study of the following double phase equation with logarithmic nonlinearity $$\begin{aligned}&amp;-\operatorname {div}\left( |\nabla u|^{p-2}\nabla u+\mu (x) |\nabla u|^{q-2}\nabla u\right) + |u|^{p-2}u+\mu (x) |u|^{q-2}u \\&amp;=K_{1}(x)|u|^{p^*-2}u+\lambda K_{2}(x)|u|^{r-2}u\log (|u|)\quad \text {in } \mathbb {R}^N, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd/> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mo>div</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow/> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> with dimension $$N\ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats