Embedding theorems for Bergman-Zygmund spaces induced by doubling weights

Abstract Let $$0&lt;p&lt;\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and $$\Psi : [0,1) \rightarrow (0,\infty )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , and let $$\mu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:math> be a finite positive Borel measure on the unit disk $${\mathbb {D}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:math> of the complex plane. We define the Lebesgue-Zygmund space $$L^p_{\mu ,\Psi }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Ψ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> as the space of all measurable functions f on $${\mathbb {D}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:math> such that $$\int _{{\mathbb {D}}}|f(z)|^p\Psi (|f(z)|)\,d\mu (z)&lt;\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . The weighted Bergman-Zygmund space $$A^p_{\omega ,\Psi }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Ψ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> induced by a weight function $$\omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:math> consists of analytic functions in $$L^p_{\mu ,\Psi }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Ψ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> with $$d\mu =\omega \,dA$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Let $$0&lt;q&lt;p&lt;\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo>