Complexity of Hamiltonian integrable systems

La complexité d'un système dynamique est définie par la difficulté à différencier les trajectoires de ce système en temps long. Nous cherchons à étudier la complexité des systèmes hamiltoniens intégrables. L'entropie topologique rend compte de ce problème en temps exponentiel mais un théorème de Paternain montre que, pour la plupart de ces systèmes, l'entropie topologique est nulle. Ceci a amené Marco à définir les entropies polynomiales qui étudient la complexité en temps polynomial. Dans un premier temps, nous définissons une sous-classe de systèmes hamiltoniens intégrables, dit décomposables, pour laquelle nous montrons que l'entropie polynomiale faible est au plus égale au nombre de degrés de liberté du système. L'application moment associée à un système hamiltonien intégrable induit une fibration lagrangienne singulière. Nous définissons donc, dans un second temps, un nouvel invariant de conjugaison adapté à l'étude des systèmes dynamiques fibrés : la torsion polynomiale. Dans un troisième temps, nous utilisons la torsion polynomiale et des méthodes géométriques de désingularisation pour calculer l'entropie polynomiale de systèmes hamiltoniens sur des surfaces symplectiques compactes présentant des singularités dégénérées. Nous montrons que l'entropie polynomiale de ces systèmes est 0,1 ou 2. Enfin, toujours à l'aide de la torsion polynomiale, nous montrons que l'entropie polynomiale du pendule sphérique est minorée par 3.