Bad approximability, bounded ratios and Diophantine exponents

Abstract For a real $$n\times m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> matrix $$\pmb {\xi }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , we consider its sequence of best Diophantine approximation vectors $$ \pmb {x}_i \in \mathbb {Z}^{{m}}, \, i =1,2,3,... $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , the sequences of its norms $$X_i = \Vert \pmb {x}_i\Vert $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and the norms of remainders $$L_i = \Vert \pmb {\xi }\pmb {x}_i\Vert $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . It is known that, in the cases $$m=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , bad approximability of $$\pmb {\xi }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is equivalent to the boundedness of ratios $$\frac{X_{i+1}}{X_i}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfrac> </mml:math> , while for $$n=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> bad approximability of $$\pmb {\xi }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is equivalent to the boundedness of ratios $$ \frac{L_i}{L_{i+1}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mfrac> </mml:math> . Moreover, carefully constructed example show that in the cases $$m=1$$</jats:tex-m