Optimal Weighted Fourier Restriction Estimates for the Sphere in 2D

Abstract We prove weighted versions of the 2D Restriction Conjecture for the unit sphere in $${\mathbb {R}}^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> . Our results involve the weight functions $$(1+|x|)^\alpha (1+|y|)^\beta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and $$(1+|x|+|y|)^\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> with $$\alpha ,\beta ,\gamma \ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> .