Gradient bounds for a widely degenerate orthotropic parabolic equation

Abstract In this paper, we consider the following nonlinear parabolic equation $$ \partial _{t}u\,=\,\sum _{i=1}^{n}\partial _{x_{i}}\left[ (\vert u_{x_{i}}\vert -\delta _{i})_{+}^{p-1}\frac{u_{x_{i}}}{\vert u_{x_{i}}\vert }\right] \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\textrm{in}\,\,\,\Omega \times I, $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mfenced> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> is a bounded open subset of $$\mathbb {R}^{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> for $$n\ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$I\subset \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is a bounded open interval, $$p\ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$\delta _{1},\ldots ,\delta _{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> are non-negative numbers and $$\left( \,\cdot \,\right) _{+}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mspace/> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mspace/> </mml:mfenced> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> </mml:math>