Minimal Denominators Lying in Subsets of the Ring of Polynomials over a Finite Field

Abstract Given a subset $$\mathcal {S}\subseteq \mathbb {F}_q[x]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and fixed integers $$n,m\in \mathbb {N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , we study the distribution of the smallest denominator $$Q\in \mathcal {S}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> for which there exists $$\textbf{P}\in \mathbb {F}_q[x]^m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> such that $$\left\| \frac{\textbf{P}}{Q}-\varvec{\alpha }\right\| &lt;q^{-n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\varvec{\alpha }\in x^{-1}\mathbb {F}_q((x^{-1}))^m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> is chosen randomly. We also consider the discrete analogue obtained by fixing a polynomial $$N\in \mathbb {F}_q[x]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> with $$\textrm{deg}(N)=n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>deg</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and sampling $$\varvec{\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> uniformly from $$\frac{1}{N}\mathbb {F}_q[x]^m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup>