Indecomposability of the polynomials $$P(x)=f(x)^n(x-a_1)^{k_1}\cdots (x-a_m)^{k_m}$$

Abstract In the present paper we give all complete decompositions over $$\mathbb {C}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> of the polynomial $$\begin{aligned} P(x)=(x-a_1)^{k_1}\cdots (x-a_m)^{k_m}, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:msup> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$2\le m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , $$m\notin \left\{ 4, 6, 7, 10\right\} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>∉</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>7</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>10</mml:mn> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> is a positive integer, $$a_1, a_2, \ldots , a_m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> are pairwise distinct real numbers, $$k_1,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> $$k_2,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> $$\ldots ,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> $$k_m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> are positive integers and the number of pairwise distinct integers among $$k_1, k_2,\ldots , k_m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow>