Quantum classical hybrid algorithm for solving partial differential equations based on the finite element method

摘要 偏微分方程（partial differential equations, PDEs）在科学与工程领域应用广泛, 但传统数值方法在求解高维或大规模问题时面临维数灾难. 量子计算的发展为解决这一难题提供了新思路, 然而现有量子算法存在一些局限，如对硬件要求高, 量子电路的表达能力有限等. 针对以上问题, 本文对Helmholtz方程提出了一种融合量子退火(quantum annealing, QA)与高斯-赛德尔(gauss-seidel, GS)迭代的混合计算方法. 首先, 通过有限元方法离散该方程转化为线性方程组, 进而构造出二次无约束二进制优化（quadratic unconstrained binary optimization, QUBO）问题. 然后, 用量子退火求得该方程组全局最优的初始解, 并在此过程中引入了残差补偿机制. 最后, 通过高斯-赛德尔迭代来提升解的精度. 结果表明该算法不仅得到的数值解收敛到比较理想的精度, 而且迭代效率也得到了很好的提高. 另外, 该混合算法对量子硬件的要求低, 在含噪声中等规模量子(noisy intermediate-scale quantum, NISQ) 时代为高维、大规模偏微分方程求解提供了兼具效率与精度的新路径, 也可以用于其他偏微分方程的求解, 有利于推动量子经典混合计算在科学工程领域的应用.