Cyclic polynomials in Dirichlet-type spaces of the unit bidisk

Abstract For $$\alpha \in \mathbb {R},$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> we consider the scale of function spaces, namely the Dirichlet-type space $$\mathcal {D}_{\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> consisting of holomorphic functions on the unit bidisk $$\mathbb {D}^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> , $$f(z,w)=\sum _{k,l=0}^{\infty }a_{kl}z^kw^l$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>kl</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>l</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> such that $$\begin{aligned} \sum _{k,l=0}^{\infty }(k+l+1)^\alpha |a_{kl}|^2 &lt; \infty . \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>kl</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> In this paper, we solve an open problem posed by Torkinejad Ziarati concerning the cyclicity of the polynomial $$2-z_1-z_2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> in $$\mathcal {D}_\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> for $$ \frac{3}{2} &lt; \alpha \le 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We provide an affirmative answer and, as a consequence, complete the characterization of cyclic polynomials in $$\mathcal {D}_\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub>