Improved estimates for the argument and zero-counting function of the Riemann zeta-function

In this article, we improve the recent work of Hasanalizade, Shen, and Wong by establishing <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue upper N left-parenthesis upper T right-parenthesis minus StartFraction upper T Over 2 pi EndFraction log left-parenthesis StartFraction upper T Over 2 pi e EndFraction right-parenthesis EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to 0.10076 log upper T plus 0.24460 log log upper T plus 8.08344 comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi> π </mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi> π </mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>0.10076</mml:mn> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>0.24460</mml:mn> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>8.08344</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left | N (T) - \frac {T}{ 2 \pi } \log \left ( \frac {T}{2\pi e}\right ) \right |\le 0.10076\log T+0.24460\log \log T+8.08344,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> for every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T greater-than-or-equal-to e"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T\ge e</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N left-parenthesis upper T right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N(T)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the number of non-trivial zeros <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="rho equals beta plus i gamma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ρ </mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi> β </mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi> γ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\rho =\beta +i\gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than gamma less-than-or-equal-to upper T"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi> γ </mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0&gt;\gamma \le T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , of the Riemann zeta-function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="zeta left-parenthesis s right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ζ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\zeta (s)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . The main source of improvement comes from implementing new subconvexity bounds for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="zeta left-parenthesis sigma plus i t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ζ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> σ </mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\zeta (\sigma +it)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on some <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma Subscript k">