Lower bounds on the least common multiple of a polynomial sequence and its radical

Abstract Cilleruelo conjectured that for an irreducible polynomial f ∈ ℤ[ X ] of degree d ⩾ 2, denoting $${L_f}(N) = {\text{lcm}}({f(1),f(2), \ldots,f(N)})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext>lcm</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> one has $$\log L_{f}(n)\sim(d-1)N\log N.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:math> He proved it in the case d = 2 but it remains open for every polynomial with d &gt; 2. While the tight upper bound log L f ( n ) ≲ ( d − 1) N log N is known, the best known general lower bound due to Sah is $$\log L_{f}(n)\gtrsim N\log N.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≳</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:math> We give an improved lower bound for a special class of irreducible polynomials, which includes the decomposable irreducible polynomials f = g ◦ h, g, h ∈ ℤ[ x ], deg g , deg h ≥ 2, for which we show $$\log {L_f}(n) \gtrsim {{d - 1} \over {d - \deg g}}N\log N.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≳</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>deg</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:math> We also improve Sah’s lower bound $$\log {\ell_f}(n) \gtrsim {{2} \over {d}} N\log N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≳</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:math> for the radical ℓ f ( N ) = rad( L f ( N )) for all irreducible f with d