The effect of the weight function on the number of solutions for double phase problems in $$\mathbb {R}^N$$

Abstract In this paper we deal with quasilinear elliptic equations of the form $$\begin{aligned} -\operatorname {div}\left( |\nabla u|^{p-2}\nabla u+a(\varepsilon x)|\nabla u|^{q-2}\nabla u \right) +|u|^{p-2} u+a(\varepsilon x)|u|^{q-2}u&amp;=f(u) \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mo>div</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> in $$\mathbb {R}^N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , where $$0 \le a(\cdot )\in C\left( \mathbb {R}^N\right) \cap L^{\infty }\left( \mathbb {R}^N\right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mfenced> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> , $$1&lt;p&lt;N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , $$p&lt;q&lt;p^*=\frac{Np}{N-p}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>Np</mml:mi> </mml:mrow>