Existence, instability and energy partition for linear or nonlinear evolution equations issued from fluid mechanics

Cette thèse contient trois thèmes : la partition microlocale de l'énergie, le théorème du viriel, et le caractère bien posé des écoulements de jet. Le premier thème concerne la manière dont l'énergie des solutions des équations dispersives est distribuée également à l'intérieur et à l'extérieur du cône de lumière. Ce phénomène a été fréquemment utilisé pour étudier le comportement à long terme des équations d'ondes (non) linéaires. Nous l'étendrons à une grande classe d'équations dispersives linéaires, en remplaçant le cône de lumière par une hypersurface dans l'espace des phases et en caractérisant la partition de l'énergie via des opérateurs pseudo-différentiels. Le deuxième thème examine l'équipartition des énergies cinétique et potentielle pour les systèmes de vagues d'eau à deux phases. Cette étude conduit à une description quantitative de l'instabilité du système lorsque le fluide supérieur est plus dense que le fluide inférieur, ce qui est connu comme l'instabilité de Rayleigh-Taylor et l'instabilité de Kelvin-Helmoltz. Le troisième thème traite du problème de Cauchy pour l'évolution des fluides cylindriques à frontière libre, à savoir les jets. Nous établissons le caractère localement bien posé pour cette équation d'évolution dans les espaces de Sobolev sans aucune hypothèse de symétrie. Ce résultat constitue une étape fondamentale vers la compréhension du comportement à long terme des écoulements de jets.