A dichotomy result for a modified Schrödinger equation on unbounded domains

Abstract This article aims to investigate the existence of bounded positive solutions of problem $$ (P)\qquad \left\{ \begin{array}{ll} - \textrm{div} (a(x,u,\nabla u)) + A_t(x,u,\nabla u) = g(x,u) &amp; \hbox {in }\Omega ,\\ u\ = \ 0 &amp; \hbox {on }\partial \Omega , \end{array} \right. $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mtext>div</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> with $$A_t(x,t,\xi ) = \frac{\partial A}{\partial t}(x,t,\xi )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , $$a(x,t,\xi ) = \nabla _\xi A(x,t,\xi )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>ξ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for a given $$A(x,t,\xi )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats: