On multiplicities of interpoint distances

Abstract Given a set $$X\subseteq\mathbb{R}^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> of $$n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> points and a distance $$d&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , the multiplicity of $$d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:math> is the number of times the distance $$d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:math> appears between points in $$X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> . Let $$a_1(X) \geq a_2(X) \geq \cdots \geq a_m(X)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> denote the multiplicities of the $$m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:math> distances determined by $$X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> and let $$a(X)=(a_1(X),\dots,a_m(X))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . In this paper, we study several questions from Erdős’s time regarding distance multiplicities. Among other results, we show that: (1) If $$X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> is convex or “not too convex”, then there exists a distance other than the diameter that has multiplicity at most $$n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> . (2) There exists a set $$X\subseteq\mathbb{R}^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi>