The Hadamard Product of Moment Sequences, Diagonal Positivity Preservers, and their Generators

Abstract In this work we investigate special aspects of positivity preservers and especially diagonal positivity preservers, i.e., linear maps $$T:\mathbb {R}[x_1,\dots ,x_n]\rightarrow \mathbb {R}[x_1,\dots ,x_n]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> such that $$Tx^\alpha = t_\alpha x^\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for all $$\alpha \in \mathbb {N}_0^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> with $$t_\alpha \in \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and $$Tp\ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> on $$\mathbb {R}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> for all $$p\in \mathbb {R}[x_1,\dots ,x_n]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with $$p\ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> on $$\mathbb {R}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> . We discuss representations of T , give characterizations of diagonal positivity preservers, and compare these to previous (partial) results in the literature. On the side we get a characterization of linear maps preserving moment sequences and a new proof of Schur’s product formula. The tool of diagonal positivity preservers simplifies several other existing proofs in the literature. We give a full characterization of generators A of diagonal positivity preservers, i.e., $$e^{tA}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>tA</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> is a diagonal positivity preserver for all