Correspondences acting on constant cycle curves on K3 surfaces

Abstract Constant cycle curves on a K3 surface X over $${\mathbb C}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> are curves whose points all define the same class in the Chow group. In this paper we study correspondences $$Z \subseteq X\times X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> over $${\mathbb C}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> acting on the group $${{\,\textrm{ccc}\,}}(X)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>ccc</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of cycles generated by irreducible constant cycle curves. We construct for any $$n\ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and any very ample line bundle L a locus $$Z_n(L)\subseteq X\times X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> which is expected to have dimension 2 and which yields a correspondence that acts on $${{\,\textrm{ccc}\,}}(X)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>ccc</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , when it has dimension 2. We provide examples of $$Z_n(L)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for low n and exhibit one correspondence different from $$Z_n(L)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> acting on $${{\,\textrm{ccc}\,}}(X)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>ccc</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> .