Theoretical and numerical study of the stabilization of certain interface transmission problems with dynamical boundary controls

Cette thèse porte sur la stabilisation de problèmes de transmission à interface impliquant des équations onde-plaque et des modèles de poutre d'Euler-Bernoulli/onde avec des contrôles dynamiques aux frontières, en utilisant la théorie des semi-groupes et l'analyse numérique. Dans un premier temps, nous étudions un modèle de transmission bidimensionnel composé d'une équation des ondes et d'une équation de plaque de Kirchhoff, couplées par des conditions de transmission le long d'une interface fixe et contrôlées par trois contrôles dynamiques aux frontières sous des conditions géométriques spécifiques. Bien que le système ne présente pas de stabilité exponentielle, nous établissons une estimation de décroissance polynomiale de l'énergie de type 1/t pour des données initiales régulières, en utilisant une approche fréquentielle combinant un argument par contradiction et la technique du multiplicateur. Cette méthode impose des conditions géométriques particulières sur les domaines de l'onde et de la plaque. Ensuite, nous étendons ces résultats à un modèle onde-plaque avec seulement deux contrôles dynamiques aux frontières, au lieu des trois habituels. Notre analyse confirme que cette réduction n'affecte pas le taux de décroissance polynomiale, qui reste de l'ordre 1/t. Cette méthode impose également des conditions géométriques spécifiques sur le domaine. Enfin, nous analysons la solution numérique d'un problème de transmission onde-poutre d'Euler-Bernoulli unidimensionnel avec contrôles dynamiques aux frontières. Le couplage s'effectue à travers des connexions aux frontières, où les équations d'onde et de poutre évoluent sur des intervalles adjacents. En utilisant la méthode des volumes finis, nous obtenons des estimations de stabilité et prouvons la convergence de la solution numérique vers la solution faible du système continu. De plus, nous présentons une expérience numérique pour valider l'étude théorique, en particulier concernant le taux de décroissance de la solution sous l'influence d'un contrôle dynamique unique aux frontières.