Unilateral global bifurcation for an overdetermined problem in <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi mathvariant="double-struck">S</a:mi> </a:mrow> <a:mi>N</a:mi> </a:msup> <a:mo> × </a:

We establish the Dancer-type unilateral global bifurcation theorem for nonlinear operator equation of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> is a real Banach space and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> is completely continuous with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> with respect to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:math> at <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> . We shall show that, if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mtext>dim</mml:mtext> <mml:mtext>Ker</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> for some <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> has an odd crossing number at <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:math> , there exist two branches <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> ( <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:math> ) emanating from <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> , such that either <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:math> are both unbounded or <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msubsup>