Systems of second order Stieltjes differential equations with three-point boundary conditions

In this paper, existence results are obtained for a system of second order boundary value problems <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <a:mrow> <a:mo>{</a:mo> <a:mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <a:mtr> <a:mtd> <a:msubsup> <a:mi>u</a:mi> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mover> <a:mi>g</a:mi> <a:mo accent="false"> ¯ </a:mo> </a:mover> </a:mrow> <a:mo>″</a:mo> </a:msubsup> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>t</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo>=</a:mo> <a:mi>f</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>t</a:mi> <a:mo>,</a:mo> <a:mi>u</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>t</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo>,</a:mo> <a:msubsup> <a:mi>u</a:mi> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mover> <a:mi>g</a:mi> <a:mo accent="false"> ¯ </a:mo> </a:mover> </a:mrow> <a:mo>′</a:mo> </a:msubsup> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>t</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo>,</a:mo> <a:mspace width="thickmathspace"/> <a:msub> <a:mi> μ </a:mi> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mover> <a:mi>g</a:mi> <a:mo accent="false"> ¯ </a:mo> </a:mover> </a:mrow> </a:msub> <a:mspace width="thinmathspace"/> <a:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <a:mtext>-a.e.</a:mtext> </a:mstyle> <a:mspace width="thickmathspace"/> <a:mi>t</a:mi> <a:mo> ∈ </a:mo> <a:mo stretchy="false">[</a:mo> <a:mn>0</a:mn> <a:mo>,</a:mo> <a:mn>1</a:mn> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> </a:mtd> </a:mtr> <a:mtr> <a:mtd> <a:mi>u</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mn>0</a:mn> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo>=</a:mo> <a:mover> <a:mi> α </a:mi> <a:mo accent="false"> ¯ </a:mo> </a:mover> </a:mtd> </a:mtr> <a:mtr> <a:mtd> <a:mi>u</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mn>1</a:mn> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo>+</a:mo> <a:mi>k</a:mi> <a:mi>u</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi> θ </a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo>=</a:mo> <a:mover> <a:mi> β </a:mi> <a:mo accent="false"> ¯ </a:mo> </a:mover> <a:mo>,</a:mo> </a:mtd> </a:mtr> </a:mtable> <a:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> </a:mrow> </a:math> with Stieltjes derivatives with respect to different derivators on different coordinates. Using an appropriate Green function and Schauder's fixed point theorem, a very general existence result is obtained, thus overcoming several outcomes in literature.