Sign-changing solution for critical Schrödinger–Poisson system with concave perturbation

In this paper, we consider the following Schrödinger–Poisson system with critical-concave nonlinearity: <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <a:mrow> <a:mo>{</a:mo> <a:mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <a:mtr> <a:mtd> <a:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <a:mo> − </a:mo> <a:mi mathvariant="normal"> Δ </a:mi> <a:mi>u</a:mi> <a:mo>+</a:mo> <a:mi>l</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mi> ϕ </a:mi> <a:mi>u</a:mi> <a:mo>=</a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mi>u</a:mi> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mn>4</a:mn> </a:msup> <a:mi>u</a:mi> <a:mo>+</a:mo> <a:mi> μ </a:mi> <a:mi>h</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mi>u</a:mi> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>q</a:mi> <a:mo> − </a:mo> <a:mn>2</a:mn> </a:mrow> </a:msup> <a:mi>u</a:mi> </a:mstyle> </a:mtd> <a:mtd> <a:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <a:mtext>in</a:mtext> </a:mstyle> <a:mtext> </a:mtext> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi mathvariant="double-struck">R</a:mi> </a:mrow> <a:mn>3</a:mn> </a:msup> <a:mo>,</a:mo> </a:mtd> </a:mtr> <a:mtr> <a:mtd> <a:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <a:mo> − </a:mo> <a:mi mathvariant="normal"> Δ </a:mi> <a:mi> ϕ </a:mi> <a:mo>=</a:mo> <a:mi>l</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:msup> <a:mi>u</a:mi> <a:mn>2</a:mn> </a:msup> </a:mstyle> </a:mtd> <a:mtd> <a:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <a:mtext>in</a:mtext> </a:mstyle> <a:mtext> </a:mtext> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi mathvariant="double-struck">R</a:mi> </a:mrow> <a:mn>3</a:mn> </a:msup> <a:mo>,</a:mo> </a:mtd> </a:mtr> </a:mtable> <a:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> </a:mrow> </a:math> where <mb:math xmlns:mb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mb:mi> μ </mb:mi> <mb:mo>&gt;</mb:mo> <mb:mn>0</mb:mn> </mb:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:math> and the functions <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>l</mml:mi> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:math> satisfy some mild conditions. By constraining the energy functional of the above problem on a closed subset of the sign-changing Nehari manifold, we obtain a sign-changing solution with positive energy for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> small enough.