Optimal <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> regularity for quasilinear

In this paper we obtain the interior optimal <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> regularity of weak solutions for the following quasilinear elliptic equations with Orlicz growth in divergence form <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>div</mml:mi> <mml:mspace width="0.167em"/> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>div</mml:mi> <mml:mspace width="0.167em"/> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="bold">F</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="0.333em"/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:math> including the following two special models <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>div</mml:mi> <mml:mspace width="0.167em"/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>div</mml:mi> <mml:mspace width="0.167em"/> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="bold">F</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>div</mml:mi> <mml:mspace width="0.167em"/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>ln</mml:mi> <mml:mi>θ</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>div</mml:mi> <mml:mspace width="0.167em"/> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="bold">F</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:math> for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="bold">F</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> for some <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:msub> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mtext>loc</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo>