Positive solutions for a degenerate p-Kirchhoff problem with singular and sublinear nonlinearities

In this paper, we study the following <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:math> -Kirchhoff-type elliptic problem: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∣</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo>∣</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mstyle> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>∣</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo>∣</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="0.167em"/> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> <mml:mspace width="0.167em"/> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="0.333em"/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="0.333em"/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mspace width="0.333em"/> <mml:mo>∂</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mrow/> </mml:mrow> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> is a bounded smooth domain, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> is a continuous function satisfying additional hypotheses. The data <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math> belonging to suitable Lebesgue space. Our approaches are based on an approximation scheme and the pseudomonotone operators theory.