Universality and phase transitions in low moments of secular coefficients of critical holomorphic multiplicative chaos

Abstract We investigate the low moments $$\mathbb {E}[|A_N|^{2q}],\, 0&lt;q\leqslant 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>]</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> of secular coefficients $$A_N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> of the critical non-Gaussian holomorphic multiplicative chaos, i.e. coefficients of $$z^N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> in the power series expansion of $$\exp (\sum _{k=1}^\infty X_kz^k/\sqrt{k})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>exp</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msqrt> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\{X_k\}_{k\geqslant 1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> are i.i.d. rotationally invariant unit variance complex random variables. Inspired by Harper’s remarkable result on random multiplicative functions, Soundararajan and Zaman recently showed that if each $$X_k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is standard complex Gaussian, $$A_N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> features better-than-square-root cancellation: $$\mathbb {E}[|A_N|^2]=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>]</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$\mathbb {E}[|A_N|^{2q}]\asymp (\log N)^{-q/2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≍</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for fixed