Spherical sets avoiding orthonormal bases

We show that there exists an absolute constant <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> such that for all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , any measurable set <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> of density at least <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> contains <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> pairwise orthogonal vectors. The result is sharp up to the value of the constant <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> . Moreover, we show that for all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> a set <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:math> avoiding <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:math> pairwise orthogonal vectors has measure at most <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">exp</mml:mo> <mml:mfenced close=")" open="(" separators=""> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo form="prefix" movablelimits="true">min</mml:mo> <mml:mfenced close="}" open="{" separators=""> <mml:msqrt> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msqrt> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mfenced> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> for some <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Proofs rely on the harmonic analysis on the sphere and the hypercontractive inequality.