Function theory on the annulus in the dp-norm

In this paper we shall use realization theory, a favourite technique of Rien Kaashoek, to prove new results about a class of holomorphic functions on an annulus <DispFormula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi></mml:msub> <mml:mover><mml:mo>=</mml:mo> <mml:mtext>def</mml:mtext></mml:mover> <mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> </DispFormula> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> </mml:math> . The class of functions in question arises in the early work of R. G. Douglas and V. I. Paulsen on the rational dilation of a Hilbert space operator <i>T</i> to a normal operator with spectrum in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub><mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi></mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . Their work suggested the following norm <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow> <mml:mtext>dp</mml:mtext></mml:msub> </mml:math> on the space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtext>Hol</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi></mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> of holomorphic functions on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi></mml:msub> </mml:math> , <DispFormula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow> <mml:mtext>dp</mml:mtext></mml:msub> <mml:mover><mml:mo>=</mml:mo> <mml:mtext>def</mml:mtext></mml:mover> <mml:mrow><mml:mo>sup</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow> <mml:msup><mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mspace></mml:mspace> <mml:mtext>and</mml:mtext> <mml:mspace></mml:mspace> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi></mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> </DispFormula> By analogy with the classical Schur class of holomorphic functions <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>S</mml:mi></mml:math> with supremum norm at most 1 on the disc <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>D</mml:mi></mml:math> , it is natural to consider the <i>dp-Schur class</i> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi> <mml:mtext>dp</mml:mtext></mml:msub> </mml:math> of holomorphic functions of dp-norm at most 1 on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi></mml:msub> </mml:math> . Our central result is a Pick interpolation theorem for functions in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi> <mml:mtext>dp</mml:mtext></mml:msub> </mml:math> that is analogous to Abrahamse's Interpolation Theorem for bounded holomorphic functions on a multiply-connected domain. For a tuple <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn></mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi></mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> of distinct interpolation nodes in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi></mml:msub> </mml:math> , we introduce a special set <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi> <mml:mtext>dp</mml:mtext></mml:msub> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of positive definite <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> matrices, which we call <i>DP Szegő kernels</i>. The DP Pick problem <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi></mml:msub> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi></mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> , is shown to be solvable if and only if, <DispFormula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub><mml:mover><mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover> <mml:mi>i</mml:mi></mml:msub> <mml:msub><mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi></mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:msub><mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow><mml:mi>ij</mml:mi></mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace></mml:mspace> <mml:mspace></mml:mspace> <mml:mtext>for all</mml:mtext> <mml:mspace></mml:mspace> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo></mml:mrow> <mml:msub><mml:mi>G</mml:mi> <mml:mtext>dp</mml:mtext></mml:msub> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> </DispFormula> We prove further that a solvable DP Pick problem has a solution which is a rational function with a finite-dimensional model, an intriguing result which opens up the possibility of a theory of extremal functions from <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi> <mml:mtext>dp</mml:mtext></mml:msub> </mml:math> analogous to the theory of finite Blaschke products.