On the topology of $$\mathcal {M}_{0,n+1}/\Sigma _n$$

Abstract This paper contains some results about the topology of $$\mathcal {M}_{0,n+1}/\Sigma _n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\mathcal {M}_{0,n+1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> is the moduli space of genus zero Riemann surfaces with marked points. We show that $$\mathcal {M}_{0,n+1}/\Sigma _n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> is not a topological manifold for $$n\ge 4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and it is simply connected for any $$n\in \mathbb {N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . We also present some homology computations: for example we show that $$\mathcal {M}_{0,p+1}/\Sigma _p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> has no p torsion, where p is a prime. Lastly we compute $$H_*(\mathcal {M}_{0,n+1}/\Sigma _n;\mathbb {Z})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for small values of n , proving that $$\mathcal {M}_{0,n+1}/\Sigma _n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> is contractible for $$n\le 5$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> while $$\mathcal {M}_{0,7}/\Sigma _6$$