On asymmetric equilibria in rent-seeking contests with strictly increasing returns

Abstract This paper revisits the n -player rent-seeking contest with homogeneous valuations and increasing returns. Our main result says that, for any $$m\in \{2,\ldots ,n-1\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , there are threshold values $$1&lt;R_*(m)&lt;R^*(m)\le 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for the Tullock parameter R such that a pure strategy equilibrium with m active players exists if and only if $$R\in [R_*(m),\,R^*(m)]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . Among other things, this observation leads to a simple characterization of the values of R for which the n -player contest has a unique pure strategy equilibrium.