Sobolev versus homogeneous Sobolev extension

Abstract In this paper, we study the relationship between Sobolev extension domains and homogeneous Sobolev extension domains. Precisely, we obtain the following results, Let $$1\leq q\leq p\leq \infty$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Then a bounded $$(L^{1, p}, L^{1, q})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -extension domain is also a $$(W^{1, p}, W^{1, q})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -extension domain. Let $$1\leq q\leq p&lt;q ^{\star} \leq \infty$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>⋆</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> or $$n&lt; q \leq p\leq \infty$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Then a bounded domain is a $$(W^{1, p}, W^{1, q})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -extension domain if and only if it is an $$(L^{1, p}, L^{1, q})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -extension domain. For