Large-degree asymptotic expansions for the Jacobi and related functions

Simple asymptotic expansions for the Jacobi functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P Subscript nu Superscript left-parenthesis alpha comma beta right-parenthesis Baseline left-parenthesis z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi> ν </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> β </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P_\nu ^{(\alpha , \beta )}(z)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q Subscript nu Superscript left-parenthesis alpha comma beta right-parenthesis Baseline left-parenthesis z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi> ν </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> β </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Q_\nu ^{(\alpha , \beta )}(z)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for large degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="nu"> <mml:semantics> <mml:mi> ν </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\nu</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , with fixed parameters <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha"> <mml:semantics> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="beta"> <mml:semantics> <mml:mi> β </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\beta</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , are surprisingly rare in the literature, with only a few special cases covered. This paper addresses this notable gap by deriving simple (inverse) factorial expansions for these functions, complemented by explicit and computable error bounds. Additionally, we provide analogous results for the associated functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Q Subscript nu Superscript left-parenthesis alpha comma beta right-parenthesis Baseline left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi> ν </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> β </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {Q}_\nu ^{(\alpha , \beta )}(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sans-serif upper Q Subscript nu Superscript left-parenthesis alpha comma beta right-parenthesis Baseline left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="sans-serif">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi> ν </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> β </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathsf {Q}_\nu ^{(\alpha , \beta )}(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .