An Ω-result for the counting of geodesic segments in the hyperbolic plane

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Gamma"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a cocompact Fuchsian group, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="l"> <mml:semantics> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">l</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> a fixed closed geodesic. We study the counting of those images of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="l"> <mml:semantics> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">l</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> under the action of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Gamma"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> that have a distance from <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="l"> <mml:semantics> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">l</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> less than or equal to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We prove an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -result for the error term in the asymptotic expansion of the counting function. More specifically, we prove that, for every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="delta greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> δ </mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\delta &gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , the error term is equal to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega Subscript delta Baseline left-parenthesis upper X Superscript 1 slash 2 Baseline left-parenthesis log log upper X right-parenthesis Superscript 1 slash 4 minus delta Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> δ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi> δ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega _{\delta }\left (X^{1/2}\left (\log {\log {X}}\right )^{1/4-\delta } \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X equals hyperbolic cosine upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>cosh</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X=\cosh {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .