On the minimisation of the peak–to–average ratio

Abstract Let $$\Omega \Subset \mathbb R^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⋐</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and a continuous function $$\textrm{H}: \Omega \times \mathbb R^N \times \mathbb R^{N n} \times \cdots \times \mathbb R^{N n^{k}}_s \longrightarrow \mathbb R$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>H</mml:mtext> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>Nn</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>⟶</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> be given, where $$n,k,N \in \mathbb N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . For $$p\in [1,\infty ]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , we consider the functional $$\begin{aligned} \ \ \ \ \ \mathrm E_p(u) := \big \Vert \mathrm H \big (\cdot ,u,\mathrm D u, \ldots , \mathrm D^ku \big ) \big \Vert _{\mathrm L^p(\Omega )},\ \ \ u\in \mathrm W^{k,p}(\Omega ;\mathbb R^N). \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> In this note we are interested in the $$\textrm{L}^\infty $$