Gelfand–Kirillov dimension for mod 𝑝 representations of 𝑝-adic unitary groups of rank 2

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a prime number and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F slash upper F Superscript plus"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F/F^+</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> a CM extension of a totally real field such that every place of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F Superscript plus"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F^+</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> above <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is unramified and inert in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We fix a finite place <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="v"> <mml:semantics> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">v</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F Superscript plus"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F^+</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> above <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r overbar colon upper G a l left-parenthesis upper F Superscript plus Baseline overbar slash upper F Superscript plus Baseline right-parenthesis long right-arrow Superscript upper C Baseline normal upper U Subscript 1 comma 1 Baseline left-parenthesis double-struck upper F overbar Subscript p Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo accent="false"> ¯ </mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>Gal</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mover> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo accent="false"> ¯ </mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> ⟶ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"/> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">U</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo accent="false"> ¯ </mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\overline {r}: \operatorname {Gal}(\overline {F^+}/F^+) \longrightarrow {}^C\mathrm {U}_{1,1}(\overline {\mathbb {F}}_p)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a modular <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L"> <mml:semantics> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -parameter valued in the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C"> <mml:semantics> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -group of a rank 2 unitary group associated to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F slash upper F Superscript plus"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m