Local and Global Solvability in a Viscous Wave Equation Involving General Temperature-Dependence

Abstract The present manuscript studies a coupled thermoelastic-viscoelastic system, modelling the interaction between mechanical displacement and temperature in viscoelastic materials in a bounded interval. This topic is of interest in the fields of applied mathematics and continuum mechanics. The system under consideration reads $$\begin{aligned} \left \{ \textstyle\begin{array}{l} u_{tt} = (\gamma (\Theta ) u_{xt})_{x} + (\tilde {\gamma }(\Theta ) u_{x})_{x}+(f( \Theta ))_{x}, \\ \Theta _{t} = D\Theta _{xx} + \Gamma (\Theta ) u_{xt}^{2}+F(\Theta )u_{xt}, \end{array}\displaystyle \right . \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>˜</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> in an open bounded interval, which with $\gamma \equiv \tilde {\gamma }\equiv \Gamma $ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>˜</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> </mml:math> as well as $f\equiv F$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> reduces to the classical model for the evolution of strains and temperatures in thermoviscoelasticity. In contrast to the preceding related studies, the present study focuses on situations in which not only $f$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:math> and $F$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> , but also the core components $\gamma $ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:math> , $\tilde {\gamma }$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>˜</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> </jats