Sommerfeld Radiation Condition for Helmholtz equations with long-range potentials

Abstract We study the electric Helmholtz equation $$\Delta u + Vu + \lambda u =f$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and show that, for certain potentials, the solution u given by the limited absorption principle obeys a Sommerfeld radiation condition. We use a non-spherical approach based on the solution K of the eikonal equation $$|\nabla K|^2=1 + \frac{p}{\lambda }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> to improve previous results in that area and extend them to long-range potentials which decay like $$|x|^{-2-\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> at infinity, with $$\alpha &gt; 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> .