Rigidity results for non-Kähler Calabi–Yau geometries on threefolds

Abstract We derive a canonical symmetry reduction associated to a compact non-Kähler Bismut-Hermitian-Einstein manifold. In real dimension 6, the transverse geometry is conformally Kähler, and we give a complete description in terms of a single scalar PDE for the underlying Kähler structure. In the case when the soliton potential is constant, we show that that the Bott–Chern number $$h^{1,1}_{BC} \ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>BC</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and that equality holds if and only if the metric is Bismut-flat, and hence a quotient of either $${{\,\textrm{SU}\,}}(2) \times {\mathbb {R}} \times {\mathbb {C}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>SU</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> or $${{\,\textrm{SU}\,}}(2) \times {{\,\textrm{SU}\,}}(2)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>SU</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>SU</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> .