Well-distribution modulo one and the primes

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis p Subscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(p_n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denote the sequence of prime numbers, ordered with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 equals p 1 greater-than p 2 greater-than ellipsis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2=p_1&gt;p_2&gt;\ldots</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We demonstrate the existence of an irrational number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha"> <mml:semantics> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> having the property that the sequence <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis alpha p Subscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(\alpha p_n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is not well-distributed modulo <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1"> <mml:semantics> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .