An Exponential Diophantine Equation with Generalized Pell Numbers

Abstract For an integer $$k\ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , let $$(P^{(k)}_{n})_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> be the k -generalized Pell sequence whose first k terms are $$0,\ldots , 0, 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and each term afterwards is given by the k th order linear recurrence $$P^{(k)}_{n}=2P^{(k)}_{n-1}+P^{(k)}_{n-2} +\cdots +P^{(k)}_{n-k}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> . For the usual Pell sequence $$(P_n)_n=(P^{(2)}_{n})_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> the formula $$P_{n}^2+P_{n+1}^2=P_{2n+1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> holds for all $$n\ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math>