𝐿₁ approach to the compressible viscous fluid flows in the half-space

The paper is devoted to the proof of the local well-posedness for the Navier–Stokes equations describing the motion of isotropic barotoropic compressible viscous fluid flow with nonslip boundary conditions, where the half-space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Subscript plus Superscript upper N Baseline equals left-brace x equals left-parenthesis x 1 comma ellipsis comma x Subscript upper N Baseline right-parenthesis element-of double-struck upper R Superscript upper N Baseline bar x Subscript upper N Baseline greater-than 0 right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo> ∣ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^N_+= \{x=(x_1, \dots , x_N) \in \mathbb {R}^N \mid x_N&gt;0\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ( <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N greater-than-or-equal-to 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N \geq 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ) is the fluid domain. The density part of the solutions belongs to <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W 1 Superscript 1 Baseline left-parenthesis left-parenthesis 0 comma upper T right-parenthesis comma upper B Subscript q comma 1 Superscript s Baseline left-parenthesis double-struck upper R Subscript plus Superscript upper N Baseline right-parenthesis right-parenthesis intersection upper L 1 left-parenthesis left-parenthesis 0 comma upper T right-parenthesis comma upper B Subscript q comma 1 Superscript s plus 1 Baseline left-parenthesis double-struck upper R Subscript plus Superscript upper N Baseline right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ∩ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} W^1_1((0, T), B^s_{q,1}(\mathbb {R}^N_+)) \cap L_1((0, T), B^{s+1}_{q,1}(\mathbb {R}^N_+)) \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> and the velocity part of them belongs to <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W 1 Superscript 1 Baseline left-parenthesis left-parenthesis 0 comma upper T right-parenthesis comma upper B Subscript q comma 1 Superscript s Baseline left-parenthesis double-struck upper R Subscript plus Superscript upper N Baseline right-parenthesis Superscript upper N Baseline right-parenthesis intersection upper L 1 left-parenthesis left-parenthesis 0 comma upper T right-parenthesis comma upper B Subscript q comma 1 Superscript s plus 2 Baseline left-parenthesis double-struck upper R Subscript plus Superscript upper N Baseline right-parenthesis right-parenthesis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup>