Large time asymptotics of solutions for the subcritical fractional modified Korteweg–de Vries equation

Abstract We study the global in time existence of small solutions for subcritical fractional modified Korteweg–de Vries equation $$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{c} \partial _{t}u+\frac{1}{\alpha }\left| \partial _{x}\right| ^{\alpha -1}\partial _{x}u=t^{\nu }\partial _{x}\left( u^{3}\right) ,\text t&gt;0\textbf{,}x\in \mathbb {R},\\ u\left( 0,x\right) =u_{0}\left( x\right) , x\in \mathbb {R}\textbf{,} \end{array} \right. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mtext>t</mml:mtext> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$\alpha \in \left( \frac{3}{2},3\right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> and $$\nu \in \left( 0,\nu _{\alpha }\right) ,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> $$\nu _{\alpha }=\frac{1}{24}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>24</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> for $$\frac{3}{2} &lt;\alpha \le \frac{32}{11},$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mf