A Critical Nonlocal Double Phase Problem in the Heisenberg Group With a Modified Hardy Potential

In this article, we study a critical double phase problem involving fractional <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> -sub-Laplacian <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> with fractional exponent <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> in the Heisenberg group <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> with homogeneous dimension <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:math> as follows : <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mtable columnalign="left left" columnspacing="1em" rowspacing="4pt"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mfrac> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|<