Quantum cluster algebras and representations of shifted quantum affine algebras

Abstract We construct a new quantization $$K_t(\mathcal {O}^{\text {sh}}_{\mathbb {Z}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mtext>sh</mml:mtext> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of the Grothendieck ring of the category $$\mathcal {O}^{\text {sh}}_{\mathbb {Z}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mtext>sh</mml:mtext> </mml:msubsup> </mml:math> of representations of shifted quantum affine algebras (of simply-laced type). We establish that our quantization is compatible with the quantum Grothendieck ring $$K_t(\mathcal {O}^{\mathfrak {b},+}_{\mathbb {Z}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for the quantum Borel affine algebra, namely that there is a natural embedding $$K_t(\mathcal {O}^{\mathfrak {b},+}_{\mathbb {Z}})\hookrightarrow K_t(\mathcal {O}^{\text {sh}}_{\mathbb {Z}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>↪</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mtext>sh</mml:mtext> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Our construction is partially based on the cluster algebra structure on the classical Grothendieck ring discovered by Geiss–Hernandez–Leclerc. As first applications, we formulate a quantum analogue of QQ -systems (that we make completely explicit in type $$A_1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> ). We also prove that the quantum oscillator algebra is isomorphic to a localization of a subalgebra of our quantum Grothendieck ring and that it is also isomorphic to the Berenstein–Zelevinsky’s quantum double Bruhat cell $$\mathbb {C}_t[{{\,\textrm{SL}\,}}_2^{w_0,w_0}]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>SL</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> .