Supersymmetric properties of one-dimensional reversible Markov generators with the links to Markov-dualities and to shape-invariance-exact-solvability

Abstract For one-dimensional reversible diffusion process involving the force F ( x ) and the diffusion coefficient D ( x ), the continuity equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> gives the dynamics of the probability <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> in terms of the divergence of the current <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi class="MJX-tex-calligraphic">J</mml:mi> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> obtained from <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> via the application of the first-order differential current-operator <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi class="MJX-tex-calligraphic">J</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . So the dynamics of the probability <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is governed by the factorized Fokker–Planck generator <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi class="MJX-tex-calligraphic">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi class="MJX-tex-calligraphic">J</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , while the dynamics of the current <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is governed by its supersymmetric partner